Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{3} e^{x-y} d y d x

Passo 1

Resumo do enunciado: Calcular
integral0^2 integral0^3 e^x - y,dy,dx
Matéria: cálculo de integrais duplas (teorema de Fubini) e integração de exponenciais.
O que vamos usar: tratar uma variável como constante, propriedade de linearidade da integral e primitiva de e^a t.

Passo 2

Beleza, começamos pela integral interna em y:
integral0^3 e^x - y,dy
Como estamos integrando em y, x é visto como constante. Reescreve
e^x - y ;=; e^x,e^-y
Pela linearidade da integral, você pode tirar e^x (constante em y):
integral0^3 e^x,e^-y,dy ;=; e^x integral0^3 e^-y,dy
E a teoria de exponenciais diz que
integral e^a y,dy ;=;1a,e^a y
Aqui a=-1, logo
integral e^-y,dy = -e^-y

Passo 3

Agora avaliamos essa primitiva de y=0 a y=3:
integral0^3 e^-y,dy = l[-e^-yr]0^3 = l(-e^-3r) - l(-e^0r) = 1 - e^-3
Multiplicando por e^x, a integral interna vira
integral0^3 e^x - y,dy = e^x,(1 - e^-3)

Passo 4

Agora a integral externa em x:
integral0^2 e^x,(1 - e^-3),dx
De novo, (1 - e^-3) é constante em x, então sai da integral:
(1 - e^-3) integral0^2 e^x,dx
A primitiva de e^x é e^x. Avaliando de 0 a 2:
integral0^2 e^x,dx = l[e^xr]0^2 = e^2 - 1
Portanto o resultado final é
(1 - e^-3),(e^2 - 1)

Resposta

(e^2 - 1)(1 - e^-3)

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