Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{3} e^{x-y} d y d x
\int_{0}^{2} \int_{0}^{3} e^{x-y} d y d x
Passo 1
Resumo do enunciado: Calcular
Matéria: cálculo de integrais duplas (teorema de Fubini) e integração de exponenciais.
O que vamos usar: tratar uma variável como constante, propriedade de linearidade da integral e primitiva de .
O que vamos usar: tratar uma variável como constante, propriedade de linearidade da integral e primitiva de
Passo 2
Beleza, começamos pela integral interna em
:
Como estamos integrando em
,
é visto como constante. Reescreve
Pela linearidade da integral, você pode tirar
(constante em
):
E a teoria de exponenciais diz que
Aqui
, logo
Passo 3
Agora avaliamos essa primitiva de
a
:
Multiplicando por
, a integral interna vira
Passo 4
Agora a integral externa em
:
De novo,
é constante em
, então sai da integral:
A primitiva de
é
. Avaliando de
a
:
Portanto o resultado final é