Antes de tentar integrar explicitamente, precisamos verificar se essa integral em y é própria ou imprópria — há um ponto sensível em y=0 porque y^{-2z} pode ficar muito grande quando y\to 0^{+} se z>0. Então devemos estudar o comportamento próximo de y=0.
Farei um lembrete útil (e muito usado em provas): para a integral
\int_{0}^{a} y^{p}\, dy
com a>0, essa integral converge (é finita) se, e somente se, p>-1. A justificativa rápida: se p\neq -1 então
\int_{0}^{a} y^{p}\, dy = \left.\frac{y^{p+1}}{p+1}\right|_{0}^{a},
e a função y^{p+1} tende a 0 quando y\to 0^{+} exatamente se p+1>0, isto é p>-1.
Aplicando isso ao nosso integrando em y:
O termo y^{-2z} corresponde a p = -2z. Para que \int_{0}^{e^{2}} y^{-2z}\,dy converge, precisamos de -2z > -1, ou seja
z < \tfrac{1}{2}.
O termo y^{1-z} corresponde a p = 1-z. Como 1-z>-1 para todo z\in[0,2] (porque 1-z\ge -1 e estritamente -1 só em z=2), esse termo não cria problema de divergência em y=0 para os z do intervalo considerado. Em particular, \int_{0}^{e^{2}} y^{1-z}\,dy é finita para todos z\in[0,2].
Portanto o possível problema só vem de y^{-2z}, e concluímos:
Para cada z com 0\le z<\tfrac{1}{2}, a integral em y de y^{-2z} (e, consequentemente, da diferença y^{-2z}-y^{1-z}) é finita.
Para qualquer z\ge \tfrac{1}{2}, a integral \int_{0}^{e^{2}} y^{-2z}\,dy diverge (vai para +\infty), logo \int_{0}^{e^{2}} (y^{-2z}-y^{1-z})\,dy diverge também (porque a parte divergente é positiva e domina perto de 0).
Passo 4
Agora voltemos à integral iterada completa, que pede integrar em z de 0 a 2 o resultado da integral em y. Mas observamos que para cada z\ge \tfrac{1}{2} a integral em y é divergente. Como o conjunto de z em [0,2] com z\ge \tfrac{1}{2} tem medida positiva (é o intervalo [\tfrac{1}{2},2]), isso significa que para muitos valores de z (num intervalo), a integral interna em y não é finita. Portanto a integral iterada original
\int_{0}^{2} \left[ \int_{0}^{e^{2}} \int_{0}^{y^{-z}} (2x-y)\, dx\, dy \right] dz
não pode ser atribuída a um número finito — a integral é imprópria e diverge para +\infty.
Uma maneira intuitiva de ver: para z fixo e grande o suficiente (por exemplo z=1), o limite superior em x é y^{-1}, que se torna enorme quando y é pequeno; integrando 2x-y até uma quantidade grande de x produz um termo da forma y^{-2z} que é tão singular em y\to 0 que a integral em y explode. Isso ocorre para todo z\ge \tfrac{1}{2}, e integrar esses z faz a integral total divergir para +\infty.
Passo 5
Para completar (apenas para curiosidade e para treinar cálculos), mostro a integral em y explicitamente quando z<\tfrac{1}{2}. Usando a primitiva padrão \int y^{a}\,dy = \dfrac{y^{a+1}}{a+1} para a\neq -1,
\int_{0}^{e^{2}} \big( y^{-2z} - y^{1-z}\big) dy = \left.\frac{y^{1-2z}}{1-2z}\right|_{0}^{e^{2}} - \left.\frac{y^{2-z}}{2-z}\right|_{0}^{e^{2}}.
Para z<\tfrac{1}{2} as duas parcelas acima são finitas e bem definidas; mas como já expliquei, assim que z\ge\tfrac{1}{2} a primeira parcela não é finita (o denominador 1-2z muda de sinal e o limite em 0 explode), confirmando a divergência global.
Resposta
A integral é divergente; a integral iterada diverge para +\infty.