Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} \int_{x}^{1} 6 x y z d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^yintegralx^16,x,y,z,dz,dx,dy
O conteúdo aqui é integração iterada: vamos aplicar o Teorema de Fubini e integrar sucessivamente em z, depois em x e finalmente em y, tratando as variáveis não integradas como constantes em cada etapa.

Passo 2

Primeiro, integramos em z, considerando x e y constantes:
integralx^16,x,y,z,dz =6,x,yintegralx^1z,dz =6,x,yl[tfracz^22r]z=x^z=1 =6,x,yl(tfrac12-tfracx^22r) =3,x,yl(1-x^2r)
Assim a integral tripla vira
integral0^1integral0^y3,x,yl(1-x^2r),dx,dy

Passo 3

Agora integramos em x:
integral0^y3,x,yl(1-x^2r),dx =3,yintegral0^yl(x - x^3r),dx =3,yl[tfracx^22-tfracx^44r]0^y =3,yl(tfracy^22-tfracy^44r) =tfrac32y^3-tfrac34y^5
Logo ficamos com
integral0^1l(tfrac32y^3-tfrac34y^5r),dy

Passo 4

Por fim, integramos em y:
integral0^1l(tfrac32y^3-tfrac34y^5r),dy =tfrac32l[tfracy^44r]0^1 -tfrac34l[tfracy^66r]0^1 =tfrac32cdottfrac14-tfrac34cdottfrac16 =tfrac38-tfrac324 =tfrac14

Resposta

tfrac14

Exercícios relacionados