Usando a substituição trigonométrica adequada, calcule as integrais.
integral x^3 raiz16-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3raiz16 - x^2,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é a integração de funções com raízes do tipo raiza^2-x^2, e a técnica é fazer x = asintheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 4sintheta, dx = 4costheta,dtheta,
e então
raiz16 - x^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
x^3raiz16 - x^2,dx = (4sintheta)^3,(4costheta),(4costheta,dtheta) = 64,sin^3theta cdot 16,cos^2theta,dtheta =1024,sin^3theta,cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos sin^3theta=sintheta,(1-cos^2theta) e fazemos u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Então
1024,sin^3theta,cos^2theta,dtheta =1024l(sintheta,cos^2theta - sintheta,cos^4thetar)dtheta =-1024l(u^2-u^4r),du

Passo 5

Integramos em u:
-1024integrall(u^2-u^4r),du =-1024l(u^33-u^55r)+C =-10243u^3+10245u^5+C

Passo 6

Voltando a theta e depois a x:
u=costheta=raiz16-x^24,
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u^3=(16-x^2)^3/264, u^5=(16-x^2)^5/21024
Substituindo em
-10243u^3+10245u^5
-163(16-x^2)^3/2 +15(16-x^2)^5/2+C

Resposta

integral x^3raiz16 - x^2,dx =15(16-x^2)^5/2 -163(16-x^2)^3/2 +C

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