Calcule a integral iterada.
$\int_{0}^{4} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} -x y^{2} d x d y$

O enunciado pede para calcular a integral iterada

\int_{0}^{4}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} -x\,y^{2}\,dx\,dy.

O conteúdo aqui é integração dupla por partes iteradas, e podemos usar simetria: o integrando em

x

é um produto de

y^{2}

(que independe do sinal de

x

) por

-x

, ou seja, uma função ímpar em

x

sobre um intervalo simétrico.

Vamos avaliar a integral interna em

x

\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} -x\,y^{2}\,dx.

Como

y^{2}

é constante em relação a

x

, isso é

y^{2}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} -x\,dx = -y^{2}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} x\,dx.

Mas

x\mapsto x

é função ímpar, e o intervalo

\bigl[-\sqrt{y},\sqrt{y}\bigr]

é simétrico, logo

\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} x\,dx = 0 \quad\Longrightarrow\quad \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} -x\,y^{2}\,dx = -y^{2}\cdot 0 = 0.

Como a integral interna é

0

para todo

y\in[0,4]

, a integral externa também será zero:

\int_{0}^{4} 0 \,dy = 0.

0

Calcule a integral iterada. \int_{0}^{4} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} -x y^{2} d x d y