Questão 1 - Encontre a transformada de Laplace para as seguintes funções (para $t \geq 0$ ) utilizando uma tabela de transformadas (disponível no AVA) e as transformadas desenvolvidas em sala.
$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t & 0 \leq t \leq 2 \\\\ 2 & t>2\end{array}\right.$ (obs.: use a função degrau para gerar os intervalos e a propriedade de deslocamento temporal de Laplace.)

O enunciado pede a transformada de Laplace da função em pedaços

f(t)= \begin{cases} t,&0\le t\le2,\\\\ 2,&t>2, \end{cases}

para

t\ge0

. Vamos usar a representação em termos da função degrau

u(t-2)

e depois aplicar a propriedade de deslocamento temporal da transformada de Laplace.

Escrevemos

f(t)

usando

u(t-2)

. Para

t<2

queremos

f(t)=t

e para

t>2

queremos

f(t)=2

. Note que

t\bigl[1 - u(t-2)\bigr]

é igual a

t

quando

t<2

0

quando

t>2

. Já

2\,u(t-2)

é zero para

t<2

e igual a

2

para

t>2

. Logo

f(t)=t\bigl[1 - u(t-2)\bigr]+2\,u(t-2).

Simplificamos

f(t)

. Expandindo,

f(t)=t - t\,u(t-2) + 2\,u(t-2).

Reescrevendo

t\,u(t-2)

como

\bigl[(t-2)+2\bigr]u(t-2)

, temos

t\,u(t-2)=(t-2)u(t-2)+2\,u(t-2),

então

f(t)=t - \bigl[(t-2)u(t-2)+2\,u(t-2)\bigr] +2\,u(t-2) = t - (t-2)\,u(t-2).

Esse resultado confere com

f(t)=2

para

t>2

porque

t-(t-2)=2

Aplicamos a transformada de Laplace usando linearidade e a propriedade de deslocamento:

\mathcal{L}\{(t-2)\,u(t-2)\} =e^{-2s}\,\mathcal{L}\{t\}\Big|_{t\to t+2} =e^{-2s}\,\frac{1}{s^{2}}.

Portanto,

\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{t\}-\mathcal{L}\{(t-2)\,u(t-2)\} =\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-2s}}{s^{2}}.

\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-2s}}{s^{2}}.

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