Questão 4 - Usando frações parciais onde for necessário, calcule $x(t)$ para as seguintes expressões:
$X(s)=\frac{s+4}{(s+1)^{2}}\$

O enunciado dá a transformada de Laplace

X(s)=\frac{s+4}{(s+1)^{2}}

e pede para encontrar

x(t)

. O conteúdo aqui é inversão de transformada de Laplace, usando decomposição em frações parciais e tabela básica de transformadas.

Observamos que o denominador é

(s+1)^{2}

, que indica um polo de ordem 2 em

s=-1

. Para inverter, precisamos expressar

X(s)

como soma de termos cujo inverso Laplace seja conhecido.

Fazemos a divisão do numerador de forma a separar em termos de fácil inversão. Note que

s+4 = (s+1)+3.

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X(s) =\frac{s+1}{(s+1)^{2}}+\frac{3}{(s+1)^{2}} =\frac{1}{s+1}+\frac{3}{(s+1)^{2}}.

Usamos a tabela de transformadas:

\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+1}\Bigr\}=e^{-t}, \qquad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr\}=t\,e^{-t}.

Portanto

x(t) = e^{-t} + 3\,t\,e^{-t}.

x(t) = \bigl(1 + 3t\bigr)e^{-t},\quad t\ge0.

Questão 4 - Usando frações parciais onde for necessário, calcule x(t) para as seguintes expressões: X(s)=\frac{s+4}{(s+1)^{2}}\