Questão 8 [reo-4]. Lembramos que se
é uma solução da equação diferencial
, num intervalo
, em que
são contínuas e
, então
é solução da equação diferencial acima se,
. Sabendo-se que
é solução da equação diferencial
, qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial?
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma solução conhecida
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método da redução de ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação diferencial homogênea.
Passo 2
Primeiro, entendemos que a equação diferencial dada é da forma:
Sabemos que
é uma solução dessa equação. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução
de forma que a solução geral seja uma combinação linear de
e
.
Passo 3
Usaremos a forma
, onde
é uma função a ser determinada. Substituindo
na equação diferencial, precisamos encontrar
que satisfaz a condição dada:
Aqui,
é o coeficiente de
na equação original. No nosso caso, a equação original pode ser reescrita na forma padrão
dividindo todos os termos por
.
Passo 4
Vamos identificar
na nossa equação. Dividindo a equação original por
, temos:
Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na condição para
:
Simplificando:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então a equação fica:
Esta é uma equação linear de primeira ordem, onde podemos usar o fator integrante.
Passo 7
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Simplificando o denominador:
E a integral:
Podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
. Então:
Passo 8
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A equação se torna exata, permitindo-nos integrar diretamente:
Integrando:
Lembrando que
, temos:
Passo 9
Integrando
para encontrar
:
Como estamos buscando uma solução independente, podemos ignorar a constante
. Portanto:
Passo 10
Agora, temos a segunda solução:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das duas soluções:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
.