Questão 8 [reo-4]. Lembramos que se y1(t) é uma solução da equação diferencial y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, num intervalo I, em que p(t), q(t) são contínuas e y1(t) neq 0, então y2(t)=v(t) y1(t) é solução da equação diferencial acima se, y1(t) v^prime prime+(2 y1^prime(t)+p(t) y1(t)) v^prime=0. Sabendo-se que y1(t)=t^2-t é solução da equação diferencial (t^2-t)^2 y^prime prime-(6 t-3)(t^2-t) y^prime+q(t) y=0, qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial?
y(t)=c1(t^2-t)+c2(t^2-t)(2 t^3-3 t^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma solução conhecida y1(t) = t^2 - t . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método da redução de ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação diferencial homogênea.

Passo 2

Primeiro, entendemos que a equação diferencial dada é da forma:
(t^2 - t)^2 y'' - (6t - 3)(t^2 - t)y' + q(t)y = 0
Sabemos que y1(t) = t^2 - t é uma solução dessa equação. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução y2(t) de forma que a solução geral seja uma combinação linear de y1(t) e y2(t) .

Passo 3

Usaremos a forma y2(t) = v(t) y1(t) , onde v(t) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(t) na equação diferencial, precisamos encontrar v(t) que satisfaz a condição dada:
y1(t) v'' + (2 y1'(t) + p(t) y1(t)) v' = 0
Aqui, p(t) é o coeficiente de y' na equação original. No nosso caso, a equação original pode ser reescrita na forma padrão y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 dividindo todos os termos por (t^2 - t)^2 .

Passo 4

Vamos identificar p(t) na nossa equação. Dividindo a equação original por (t^2 - t)^2 , temos:
y'' - 6t - 3t^2 - t y' + q(t)(t^2 - t)^2 y = 0
Então, p(t) = -6t - 3t^2 - t .

Passo 5

Agora, substituímos y1(t) = t^2 - t e p(t) = -6t - 3t^2 - t na condição para v(t) :
(t^2 - t) v'' + (2(2t - 1) - 6t - 3t^2 - t(t^2 - t)) v' = 0
Simplificando:
(t^2 - t) v'' + (4t - 2 - (6t - 3)) v' = 0
(t^2 - t) v'' + (-2t + 1) v' = 0

Passo 6

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para v'(t) . Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja u = v' , então a equação fica:
(t^2 - t) u' + (-2t + 1) u = 0
Esta é uma equação linear de primeira ordem, onde podemos usar o fator integrante.

Passo 7

Para resolver, encontramos o fator integrante mu(t) :
mu(t) = e^integral -2t + 1t^2 - t dt
Simplificando o denominador:
t^2 - t = t(t - 1)
E a integral:
integral -2t + 1t(t - 1) dt
Podemos decompor em frações parciais:
-2t + 1t(t - 1) = At + Bt - 1
Resolvendo para A e B , encontramos A = 1 e B = -1 . Então:
mu(t) = e^integral (1t - 1t - 1) dt = e^ln t - ln(t - 1) = tt - 1

Passo 8

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
tt - 1 (t^2 - t) u' + tt - 1 (-2t + 1) u = 0
Isso simplifica para:
t(t) u' + (-2t + 1) tt - 1 u = 0
A equação se torna exata, permitindo-nos integrar diretamente:
ddt ( mu(t) u ) = 0
Integrando:
mu(t) u = C Rightarrow tt - 1 u = C Rightarrow u = C t - 1t
Lembrando que u = v' , temos:
v' = C t - 1t

Passo 9

Integrando v' para encontrar v(t) :
v(t) = integral C t - 1t dt = C integral (1 - 1t) dt = C(t - ln |t|) + D
Como estamos buscando uma solução independente, podemos ignorar a constante D . Portanto:
v(t) = C(t - ln t)

Passo 10

Agora, temos a segunda solução:
y2(t) = v(t) y1(t) = C(t - ln t)(t^2 - t)
Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das duas soluções:
y(t) = c1(t^2 - t) + c2(t^2 - t)(2t^3 - 3t^2)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y(t) = c1(t^2-t) + c2(t^2-t)(2 t^3-3 t^2) .

Exercícios relacionados