Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(4-x-2 y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos pede o cálculo da integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(4 - x - 2y)\,dx\,dy
para uma região retangular no primeiro quadrante. Vamos usar o Teorema de Fubini para integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Calculamos a integral interna em x:
\int_{0}^{1}(4 - x - 2y)\,dx
Como y é tratado como constante, temos
\int_{0}^{1}4\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x\,dx \;-\;2y\int_{0}^{1}1\,dx = \bigl[4x\bigr]_{0}^{1}\;-\;\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1}\;-\;2y\bigl[x\bigr]_{0}^{1}
=4-\tfrac12-2y =\tfrac{7}{2}-2y.

Passo 3

Agora integramos o resultado em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{7}{2}-2y\Bigr)\,dy = \tfrac{7}{2}\int_{0}^{1}1\,dy \;-\;2\int_{0}^{1}y\,dy
= \tfrac{7}{2}\bigl[y\bigr]_{0}^{1} -2\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{7}{2}-1 =\tfrac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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