1. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano z=2 x+5 y+1 e acima do retângulo
    (x, y) mid-1 <= x <= 0,1 <= y <= 4.
  2. Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide circular z=x^2+y^2 e acima do retângulo R=[2,2] times[-3,3].
  3. Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico z=y^2-x^2 e acima do quadrado R=[-1,1] times[1,3].

Passo 1

Beleza, temos três pedacinhos pra calcular volume de sólidos usando integração dupla.
Matéria: Volume sob uma superfície z = f(x,y) sobre uma região retangular R no plano xy.
O que vamos precisar:
  • Saber que o volume é
V ;=;integral duplaR f(x,y),dA
  • Usar o Teorema de Fubini para escrever
integral duplaR f(x,y),dA =integralx=a^b!integraly=c^d f(x,y),dy,dx
  • Calcular integrais iteradas passo a passo, sem pular nenhum detalhe.

Passo 2

Questão 20:
f(x,y)=2x+5y+1,
R=(x,y)mid -1<= x<=0,;1<= y<=4.
Então
V20 =integralx=-1^0integraly=1^4(2x+5y+1),dy,dx
  1. Integramos primeiro em y:
integral1^4(2x+5y+1),dy =integral1^42x,dy+integral1^45y,dy+integral1^41,dy
  • integral1^42x,dy=2x,(4-1)=6x.
  • integral1^45y,dy=5cdoty^22|1^4 =52(16-1)=752
  • integral1^41,dy=4-1=3
    Somando: 6x+752+3=6x+812
  1. Agora em x:
V20 =integral-1^0l(6x+812r)dx =l(3x^2+812xr)|-1^0 =0-l(3cdot1+812cdot(-1)r) =0-l(3-812r) =812-3 =752

Passo 3

Questão 21:
f(x,y)=x^2+y^2,
R=[2,2]times[-3,3].
Repara que em x os limites são iguais (2 a 2), ou seja, o “retângulo” não tem largura em x.
Propriedade básica de integral definida:
integrala^ag(x),dx=0
Logo, qualquer integral dupla com um intervalo de comprimento zero dá volume zero.
Então
V21=0

Passo 4

Questão 22:
f(x,y)=y^2-x^2,
R=[-1,1]times[1,3].
V22 =integralx=-1^1integraly=1^3(y^2-x^2),dy,dx
  1. Em y:
integral1^3(y^2-x^2),dy =integral1^3y^2,dy-integral1^3x^2,dy =y^33|1^3-x^2,(3-1) =27-13-2x^2 =263-2x^2
  1. Em x:
V22 =integral-1^1l(263-2x^2r),dx =263,(1-(-1));-;2integral-1^1x^2,dx =263cdot2;-;2cdot23 =523-43 =483 =16

Resposta

  1. V=752
  2. V=0
  3. V=16

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