Calcule a soma das séries abaixo.
(d) sumn=0^infty 2^-n / 2;

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=0^infty2^-n/2.
O conteúdo aqui é série geométrica infinita, cujo critério de convergência é |r|<1 e cuja soma, nesse caso, será
sumn=0^inftyar^n=a1-r,

Passo 2

Identificamos na nossa série o primeiro termo
a=2^-0/2=1
e a razão
r=2^-1/2=1raiz2
Como l|rr|=tfrac1raiz2<1, a série converge.

Passo 3

Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, obtemos
sumn=0^infty2^-n/2 =a1-r =11-2^-1/2 =11-tfrac1raiz2

Passo 4

Para simplificar, racionalizamos o denominador:
11-tfrac1raiz2 ;times; 1+tfrac1raiz21+tfrac1raiz2 =1+tfrac1raiz21-tfrac12 =1+tfrac1raiz2tfrac12 =2l(1+tfrac1raiz2r) =2+2raiz2 =2+raiz2

Resposta

sumn=0^infty2^-n/2=2+raiz2

Exercícios relacionados