Determine
\int_{0}^{5} f(x, y) d x e \int_{0}^{1} f(x, y) d y.
I. f(x, y)=12 x^{2} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais parciais de uma função de duas variáveis
f(x,y)=12,x^2y^3
  1. integral0^5f(x,y),dx, tratando y como constante, e
  2. integral0^1f(x,y),dy, tratando x como constante.
    Vamos usar a regra de potência na integração, que diz
integral x^ndx=x^n+1n+1+C

Passo 2

Para calcular
integral0^5f(x,y),dx, escrevemos
integral0^512,x^2y^3,dx =12,y^3integral0^5x^2,dx =12,y^3[x^33]0^5 =12,y^3cdot1253 =500,y^3

Passo 3

Para calcular
integral0^1f(x,y),dy, escrevemos
integral0^112,x^2y^3,dy =12,x^2integral0^1y^3,dy =12,x^2[y^44]0^1 =12,x^2cdot14 =3,x^2

Resposta

integral0^5f(x,y),dx=500,y^3
integral0^1f(x,y),dy=3,x^2

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