Calcule a soma das séries abaixo.
(k) sumn=1^infty 12 n(2 n-1);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
sumn=1^infty 12n(2n-1)
O conteúdo aqui é séries infinitas e, mais especificamente, séries telescópicas. Vamos usar decomposição em frações simples para transformar cada termo num formato que cancele termos sucessivos.

Passo 2

Para cada n, façamos a decomposição
12n(2n-1) =A2n-1+B2n
Igualando numeradores,
1 = Acdot(2n) + Bcdot(2n-1)
Escolhendo n de forma conveniente (ou comparando coeficientes), encontramos
A=1, B=-1,
portanto
12n(2n-1) =12n-1-12n

Passo 3

Vamos somar os N primeiros termos:
SN=sumn=1^Nl(12n-1-12nr) =l(1-tfrac12r)+l(tfrac13-tfrac14r)+cdots+l(tfrac12N-1-tfrac12Nr)
Note que não há cancelamento interno além de agruparmos os termos ímpares e pares nessa forma.

Passo 4

Reconhecemos SN como a soma parcial da série harmônica alternada até 2N:
SN =1-tfrac12+tfrac13-tfrac14+cdots+tfrac12N-1-tfrac12N
Sabemos que, quando Ntoinfty, essa soma converge para ln 2.

Passo 5

Portanto, tomando o limite Ntoinfty,
sumn=1^infty12n(2n-1) =limNtoinftySN =ln 2

Resposta

ln 2

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