Calcule a soma das séries abaixo.
(k)
;
(k)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
O conteúdo aqui é séries infinitas e, mais especificamente, séries telescópicas. Vamos usar decomposição em frações simples para transformar cada termo num formato que cancele termos sucessivos.
Passo 2
Para cada
, façamos a decomposição
Igualando numeradores,
Escolhendo
de forma conveniente (ou comparando coeficientes), encontramos
portanto
Passo 3
Vamos somar os
primeiros termos:
Note que não há cancelamento interno além de agruparmos os termos ímpares e pares nessa forma.
Passo 4
Reconhecemos
como a soma parcial da série harmônica alternada até
:
Sabemos que, quando
, essa soma converge para
.
Passo 5
Portanto, tomando o limite
,