Usando a substituição trigonométrica adequada, calcule as integrais.
integral x^3raiz2-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \r
integral x^3raiz2 - x^2,dx\r
usando substituição trigonométrica. O truque é observar que a raiz raiz2 - x^2 sugere a substituição \r
x = raiz2,sintheta,\r
pois aí \r
raiz2 - x^2 = raiz2 - 2sin^2theta = raiz2,costheta.\r
Vamos precisar também de dx = raiz2,costheta,dtheta.

Passo 2

Fazendo \r
x=raiz2,sintheta e dx=raiz2,costheta,dtheta, temos\r
x^3 = (raiz2,sintheta)^3 = 2^3/2,sin^3theta,
raiz2 - x^2 = raiz2,costheta,
logo o integrando vira\r
x^3raiz2 - x^2,dx = 2^3/2sin^3thetaraiz2costheta;l(raiz2costheta,dthetar) = 4,sin^3theta,dtheta
(pois 2^3/2cdotraiz2/raiz2=2^2=4).

Passo 3

Agora integramos \r
integral 4,sin^3theta,dtheta.\r
Usamos sin^3theta=sintheta(1-cos^2theta), então\r
integral 4,sin^3theta,dtheta = 4integral (sintheta - sinthetacos^2theta),dtheta \r
Separando,\r
4integral sintheta,dtheta = -4costheta,
4integral sinthetacos^2theta,dtheta fazendo u=costheta,;du=-sintheta,dtheta
= -4integral u^2,du = -4u^33 = -4cos^3theta3
Logo o resultado em theta é\r
-4costheta ;;-;l(-tfrac4cos^3theta3r) = -4costheta + tfrac4cos^3theta3

Passo 4

Volta para x: como \r
costheta = raiz2 - x^2raiz2,\r
temos\r
-4costheta = -4cdotraiz2 - x^2raiz2 = -2raiz2 - x^2,
4cos^3theta3 = 43l(raiz2 - x^2raiz2r)^3 = 43cdot(2 - x^2)^3/22raiz2 = (2 - x^2)^3/23
Somando e adicionando a constante de integração C, obtemos\r
-2raiz2 - x^2 + (2 - x^2)^3/23 + C

Resposta

integral x^3raiz2 - x^2,dx = -2raiz2 - x^2 + (2 - x^2)^3/23 + C

Exercícios relacionados