O enunciado pede para calcular a integral definida
O conteúdo envolvido é integração de função racional. Para resolver, vamos primeiro usar divisão de polinômios para separar a parte polinomial da parte própria racional e depois aplicar frações parciais.
Passo 2
Fazendo a divisão de polinômios
dividimos por , obtendo quociente . Multiplicamos e subtraímos do numerador, restando . Logo
Assim a integral se separa em
Passo 3
Calculamos a parte polinomial:
Passo 4
Agora tratamos
integral0^21x^2+x-12,dx
Fatoramos o denominador x^2+x-12=(x-3)(x+4) e escrevemos
1(x-3)(x+4) =Ax-3+Bx+4
Temos A(x+4)+B(x-3)=1, o que dá o sistema A+B=0 e 4A-3B=1. Daí A=tfrac17, B=-tfrac17. Logo
1x^2+x-12 =17,1x-3 -17,1x+4
Integrando,
integral 1x^2+x-12,dx =17lnlvert x-3rvert -17lnlvert x+4rvert +!C =17lnl|x-3x+4r|+C