Determine as integrais abaixo:
integral0^2 x^3+x^2-12 x+1x^2+x-12 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 x^3+x^2-12x+1x^2+x-12,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional. Para resolver, vamos primeiro usar divisão de polinômios para separar a parte polinomial da parte própria racional e depois aplicar frações parciais.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômios
x^3+x^2-12x+1x^2+x-12
dividimos x^3 por x^2, obtendo quociente x. Multiplicamos xcdot(x^2+x-12)=x^3+x^2-12x e subtraímos do numerador, restando 1. Logo
x^3+x^2-12x+1x^2+x-12 = x + 1x^2+x-12
Assim a integral se separa em
integral0^2 x,dx ;+;integral0^2 1x^2+x-12,dx

Passo 3

Calculamos a parte polinomial:
integral0^2 x,dx =x^22|0^2 =2^22-0=2

Passo 4

Agora tratamos
integral0^21x^2+x-12,dx
Fatoramos o denominador x^2+x-12=(x-3)(x+4) e escrevemos
1(x-3)(x+4) =Ax-3+Bx+4
Temos A(x+4)+B(x-3)=1, o que dá o sistema A+B=0 e 4A-3B=1. Daí A=tfrac17, B=-tfrac17. Logo
1x^2+x-12 =17,1x-3 -17,1x+4
Integrando,
integral 1x^2+x-12,dx =17lnlvert x-3rvert -17lnlvert x+4rvert +!C =17lnl|x-3x+4r|+C

Passo 5

Avaliaremos de 0 a 2:
integral0^21x^2+x-12,dx =17l[lnl|tfrac2-32+4r| -lnl|tfrac0-30+4r|r] =17l[lnl(tfrac16r)-lnl(tfrac34r)r]
Como ln(tfrac16)-ln(tfrac34)=lnl(tfrac1/63/4r)=ln(tfrac29), temos
integral0^21x^2+x-12,dx =17ln!l(tfrac29r)
Somando à parte polinomial, o valor total da integral é
2 + 17ln!l(tfrac29r)

Resposta

2 + 17ln!l(tfrac29r)

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