Para que valores de
a função
é contínua?
Passo 1
O exercício pede para descobrir em quais pontos a função g, que vale 0 em racionais e 1 em irracionais, é contínua. O conteúdo aqui é estudo de continuidade de funções definidas por partes e uso da densidade dos racionais e irracionais para analisar limites.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de continuidade num ponto x₀: g é contínua em x₀ se o limite de g(x) quando x tende a x₀ existe e é igual a g(x₀). Em fórmulas:
Passo 3
Sabendo que os racionais e irracionais são densos em
, todo intervalo aberto em torno de um x₀ contém valores racionais e irracionais. Logo, para qualquer δ>0 existem x₁ e x₂ tais que |x₁−x₀|<δ e |x₂−x₀|<δ com g(x₁)=0 e g(x₂)=1. Isso faz com que, ao nos aproximarmos de x₀, g(x) oscile entre 0 e 1.
Passo 4
Como os valores de g em qualquer vizinhança de x₀ não se aproximam de um único número, o limite
não existe para nenhum x₀. Portanto, não temos
em ponto algum, e g é descontínua em todos os x₀.
Resposta
A função g não é contínua em nenhum ponto de
.