Para que valores de x a função g é contínua?
g(x)= 0 & se x é racional 1 & se x é irracional éé

Passo 1

O exercício pede para descobrir em quais pontos a função g, que vale 0 em racionais e 1 em irracionais, é contínua. O conteúdo aqui é estudo de continuidade de funções definidas por partes e uso da densidade dos racionais e irracionais para analisar limites.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de continuidade num ponto x₀: g é contínua em x₀ se o limite de g(x) quando x tende a x₀ existe e é igual a g(x₀). Em fórmulas:
limxto x₀g(x)=g(x₀)

Passo 3

Sabendo que os racionais e irracionais são densos em R, todo intervalo aberto em torno de um x₀ contém valores racionais e irracionais. Logo, para qualquer δ>0 existem x₁ e x₂ tais que |x₁−x₀|<δ e |x₂−x₀|<δ com g(x₁)=0 e g(x₂)=1. Isso faz com que, ao nos aproximarmos de x₀, g(x) oscile entre 0 e 1.

Passo 4

Como os valores de g em qualquer vizinhança de x₀ não se aproximam de um único número, o limite limxto x₀g(x) não existe para nenhum x₀. Portanto, não temos limxto x₀g(x)=g(x₀) em ponto algum, e g é descontínua em todos os x₀.

Resposta

A função g não é contínua em nenhum ponto de R.

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