Calcule a integral iterada.
integral-infty / 6^infty / 2 integral-1^1 cos y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral-pi/6^pi/2integral-1^1cos y,dx,dy
O conteúdo aqui é integração iterada em que a função integrando, cos y, independe de x. Assim, primeiro vamos usar a propriedade de fatorar constantes em relação à variável de integração interna.

Passo 2

Calculamos a integral interna em x:
integral-1^1cos y,dx
Como cos y não depende de x, temos
integral-1^1cos y,dx =cos yintegral-1^1dx =cos yl[xr]-1^1 =cos y,(1-(-1)) =2cos y

Passo 3

Substituímos o resultado na integral externa:
integral-pi/6^pi/22cos y,dy =2integral-pi/6^pi/2cos y,dy
Agora usamos que a primitiva de cos y é sin y, logo
2l[sin yr]-pi/6^pi/2 =2l(sin(tfracpi2)-sin(-tfracpi6)r) =2l(1-(-tfrac12)r) =2cdottfrac32 =3

Resposta

O valor da integral é 3.

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