O volume V(m^3) de água num reservatório varia em função do tempo t(s), segundo a lei V =-2 t^2+8 t+10. Determine:
a) O instante que o reservatório está totalmente cheio
b) O volume de água nesse instante

Passo 1

O enunciado nos dá a variação do volume de água num reservatório em função do tempo t segundo a lei
V(t) = -2t^2 + 8t + 10
O que precisamos é
– determinar o instante em que o reservatório atinge o volume máximo (ou “totalmente cheio”) e
– calcular esse volume nesse instante.

Passo 2

Para achar o instante de máximo podemos usar cálculo de derivadas. A derivada de V(t) em relação a t é
dVdt = ddtl(-2t^2 + 8t + 10r) = -4t + 8
Para encontrar o ponto crítico, igualamos a derivada a zero:
-4t + 8 = 0 Longrightarrow t = 2 (s)

Passo 3

Para confirmar que em t=2 temos um máximo, observamos a segunda derivada:
d^2Vdt^2 = ddt(-4t+8) = -4 < 0
Como a segunda derivada é negativa, t=2 corresponde a um ponto de máximo de V(t).

Passo 4

Agora basta calcular o volume em t=2:
V(2) = -2cdot(2)^2 + 8cdot2 + 10 = -2cdot4 + 16 + 10 = -8 + 16 + 10 = 18 (m^3)

Resposta

(a) t = 2 s
(b) V = 18 m^3

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