Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y^2 d x+(x^2+x y+y^2) d y=0 ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^2,dx + l(x^2+xy+y^2r),dy = 0,
com condição inicial y(0)=1.
Aqui temos uma equação de primeira ordem cujos coeficientes M(x,y)=y^2 e N(x,y)=x^2+xy+y^2 são homogêneos de grau 2, então podemos aplicar a substituição u = x/y.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em forma ,dx/dy,. Dividindo ambos os lados por dy e por y^2, vem
dxdy + x^2+xy+y^2y^2 = 0 Longrightarrow dxdy = -x^2 + x y + y^2y^2

Passo 3

Fazendo u = xy, temos x = u,y e
dxdy = u + y,dudy
Substituindo na equação de passo 2,
u + y,dudy = -(u^2y^2)+(u y^2)+y^2y^2 = -(u^2+u+1)
Então
y,dudy = -(u^2+u+1) - u = -(u+1)^2

Passo 4

Agora separamos variáveis:
du(u+1)^2 = -dyy
Integramos:
integral du(u+1)^2 = integral -dyy Longrightarrow -,1u+1 = -ln|y| + C
ou seja
1u+1 = ln|y| + C'

Passo 5

Voltando a u=tfracxy,
1xy+1 = ln|y| + C' Longrightarrow yx+y = ln|y| + C'
Usando y(0)=1 em x=0 e y=1:
10+1 = ln1 + C' Longrightarrow 1 = 0 + C' Longrightarrow C'=1

Passo 6

Logo a solução implícita, para y>0, é
yx+y = ln y + 1
Multiplicando ambos os lados por x+y e arrumando,
x(ln y + 1) + yln y = 0

Resposta

x(ln y + 1) + yln y = 0,
que é a solução implícita satisfazendo y(0)=1.

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