Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^2,dy + 2x,y,dx = 0
e a função candidata
y = -1x^2
O que precisamos fazer é calcular dy da função proposta e então substituir y e dy na equação diferencial para verificar se a igualdade se anula.

Passo 2

Vamos derivar y = -x^-2 em relação a x. Temos
dydx = -(-2)x^-3 = 2x^-3
Logo, em forma diferencial,
dy = 2x^-3,dx

Passo 3

Substituímos y e dy na equação
x^2,dy + 2x,y,dx = 0
Isso dá
x^2l(2x^-3,dxr) + 2xl(-x^-2r),dx = 2x^-1,dx - 2x^-1,dx = 0

Passo 4

Como a soma dos termos ficou identicamente zero, concluímos que a igualdade é satisfeita pela função proposta. Ou seja, ela é de fato uma solução da equação diferencial.

Resposta

Sim. A função y = -1x^2 satisfaz a equação diferencial x^2,dy + 2x,y,dx = 0.

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