Calcule a integral iterada. integral0^4(1+2 y) d y d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral iterada integral0^4(1+2 y) , dy , dx. Isso faz parte do conteúdo de integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Vamos precisar integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Vamos começar com a integral interna: integral0^4(1 + 2 y) , dy. Para isso, a gente encontra a antiderivada da função 1 + 2y. A antiderivada de 1 é y e a de 2y é y^2. Então, temos:
integral (1 + 2 y) , dy = y + y^2 + C
Como estamos calculando uma integral definida, a constante C não precisa ser considerada.

Passo 3

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de y = 0 a y = 4:
[ y + y^2 ]0^4 = (4 + 16) - (0 + 0) = 20
Então, a integral interna dá 20.

Passo 4

Com o resultado da integral interna, a integral iterada fica assim:
integral0^4 20 , dx
Agora, a gente precisa integrar 20 em relação a x.

Passo 5

A antiderivada de 20 em relação a x é 20x. Avaliando nos limites de x = 0 a x = 4:
20x |0^4 = 20 times 4 - 20 times 0 = 80

Resposta

O valor da integral iterada é 80.

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