Utilizando a definição da derivada, prove que f'(z0) = -1/z0^2 quando f(z) = 1/z e z0 != 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a derivada de em (onde ) é . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é meio que o jeito básico de encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é essa definição de derivada. Ela diz que:
Ou seja, a derivada é o limite da diferença das funções dividida pela diferença dos pontos, quando se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na fórmula. Sabemos que , então:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos juntar as frações no numerador:
Então, substituindo de volta na derivada:

Passo 5

Perceba que , então podemos reescrever:
Aqui, o termo cancela no numerador e denominador.

Passo 6

Agora, como está se aproximando de , podemos substituir por na expressão restante:

Resposta

Portanto, mostramos que quando e .

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