Utilizando a definição da derivada, prove que
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a derivada de
em
(onde
) é
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é meio que o jeito básico de encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é essa definição de derivada. Ela diz que:
Ou seja, a derivada é o limite da diferença das funções dividida pela diferença dos pontos, quando
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na fórmula. Sabemos que
, então:
Passo 4
Para simplificar essa expressão, vamos juntar as frações no numerador:
Então, substituindo de volta na derivada:
Passo 5
Perceba que
, então podemos reescrever:
Aqui, o termo
cancela no numerador e denominador.
Passo 6
Agora, como
está se aproximando de
, podemos substituir
por
na expressão restante:
Resposta
Portanto, mostramos que
quando
e
.