Determine os valores de x vezes y que satisfazem as inequações: (2x + 3) / (x - 2) <= 10 / (x - 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte inequação para resolver:
Aqui, estamos lidando com uma inequação que envolve frações. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre como resolver inequações envolvendo frações e identificar os pontos críticos onde as expressões podem mudar de sinal.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa colocar tudo em um único lado da inequação para facilitar a análise. Vamos subtrair de ambos os lados:

Passo 3

Agora, para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum será . Vamos reescrever cada fração com esse denominador:

Passo 4

Como os denominadores são iguais, podemos unir as frações:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador. Primeiro, distribuímos os termos:
E para :
Então, o numerador fica:

Passo 6

Agora, nossa inequação está assim:
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de que fazem o numerador e o denominador zero, pois esses pontos dividem a reta numérica em intervalos onde a expressão pode mudar de sinal.

Passo 7

Vamos encontrar as raízes do numerador :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 8

Já sabemos que o denominador é zero quando ou . Esses valores não fazem parte da solução, pois causam divisão por zero.
Então, nossos pontos críticos são: , , , e .

Passo 9

Vamos dividir a reta numérica com esses pontos e analisar o sinal da expressão em cada intervalo:

Passo 10

Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e verificamos o sinal da expressão:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. :

Passo 11

Agora, identificamos onde a expressão é menor ou igual a zero. Olhando os intervalos:
  • e
Além disso, nos pontos onde a expressão é igual a zero ( e ) a inequação é satisfeita, já que é .

Resposta

Os valores de que satisfazem a inequação são:

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