Determine os valores de
que satisfazem as inequações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte inequação para resolver:
Aqui, estamos lidando com uma inequação que envolve frações. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre como resolver inequações envolvendo frações e identificar os pontos críticos onde as expressões podem mudar de sinal.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa colocar tudo em um único lado da inequação para facilitar a análise. Vamos subtrair
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum será
. Vamos reescrever cada fração com esse denominador:
Passo 4
Como os denominadores são iguais, podemos unir as frações:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador. Primeiro, distribuímos os termos:
E para
:
Então, o numerador fica:
Passo 6
Agora, nossa inequação está assim:
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de
que fazem o numerador e o denominador zero, pois esses pontos dividem a reta numérica em intervalos onde a expressão pode mudar de sinal.
Passo 7
Vamos encontrar as raízes do numerador
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 8
Já sabemos que o denominador
é zero quando
ou
. Esses valores não fazem parte da solução, pois causam divisão por zero.
Então, nossos pontos críticos são:
,
,
, e
.
Passo 9
Vamos dividir a reta numérica com esses pontos e analisar o sinal da expressão
em cada intervalo:
Passo 10
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e verificamos o sinal da expressão:
-
: -
: -
: -
: -
:
Passo 11
Agora, identificamos onde a expressão é menor ou igual a zero. Olhando os intervalos:
-
e
Além disso, nos pontos onde a expressão é igual a zero (
e
) a inequação é satisfeita, já que é
.
Resposta
Os valores de
que satisfazem a inequação são: