Calcule a integral iterada. integral1^1 integral0^2 cos (s^5) d t d s

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral iterada, que é basicamente uma integral dentro de outra. O enunciado é:
integral1^1 integral0^2 cos (s^5) , dt , ds
Pra resolver isso, vamos precisar entender integrais definidas e como elas funcionam quando temos limites de integração que às vezes podem simplificar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma integral definida. A integral definida, representada por , calcula a área sob a curva da função entre os pontos e .
No nosso caso, temos uma integral duplamente definida, ou seja, uma integral dentro de outra:
  • A integral interna é
  • A integral externa é

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna:
integral0^2 cos(s^5) , dt
Aqui, observamos que a função integral0^2 cos(s^5) , dt = cos(s^5) times (2 - 0) = 2cos(s^5) não depende de . Isso significa que, para cada valor de , a integral de em relação a de 0 a 2 é simplesmente multiplicado pelo intervalo de .
Matematicamente:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^1 2cos(s^5) , ds
Aqui, percebemos que os limites de integração para integral1^1 2cos(s^5) , ds = 0 são de 1 a 1. Quando os limites superior e inferior de uma integral definida são iguais, o valor da integral é sempre zero. Isso porque não há “espaço” para calcular a área sob a curva.
Portanto:

Resposta

A integral iterada vale 0.

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