Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1a ordem abaixo:
y^prime-2 y=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
y' - 2y = e^2x
O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de 1ª ordem e uso do fator integrante.

Passo 2

Colocamos na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
onde P(x)=-2 e Q(x)=e^2x. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^-2x

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação original por mu(x):
e^-2xy' - 2e^-2xy = e^-2xe^2x = 1
Repare que o lado esquerdo é a derivada de mu(x)y:
ddxl(e^-2xyr) = 1

Passo 4

Integramos em relação a x:
integral ddxl(e^-2xyr),dx = integral 1,dx
resultando em
e^-2xy = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y = e^2xl(x + Cr) = x,e^2x + C,e^2x

Resposta

y(x) = e^2xl(x + Cr)

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