Calcule a integral iterada.
integral0^2 integraly^2^2 y(4 x-y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral dupla, que é uma parte do cálculo chamada Integrais Múltiplas. A integral que vamos resolver é:
integral0^2 integraly^2^2 y(4 x - y) , dx , dy
Para resolver isso, vamos precisar integrar uma variável de cada vez, começando por e depois por .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integraly^2^2 y(4 x - y) , dx . A integral interna é:
Aqui, vamos integrar a função com respeito a , tratando como uma constante.

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral (4x - y) , dx = 2x^2 - yx + C em relação a [2(2y)^2 - y(2y)] - [2(y^2)^2 - y(y^2)] :
2(4y^2) - 2y^2 = 8y^2 - 2y^2 = 6y^2
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 2(y^4) - y^3 = 2y^4 - y^3 até 6y^2 - (2y^4 - y^3) = 6y^2 + y^3 - 2y^4 :
Simplificando cada parte:
  • Para :
  • Para :
Então, a diferença fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a integral0^2 (6y^2 + y^3 - 2y^4) , dy :
2y^3 + 14y^4 - 25y^5 gr|0^2
Vamos integrar termo por termo:
  • 2(2)^3 + 14(2)^4 - 25(2)^5 = 16 + 4 - 645
  • 16 = 805, 4 = 205, 645
  • 805 + 205 - 645 = 365
Então, a integral fica:
Agora, vamos avaliar de até :
Para :
Convertendo tudo para frações:
Então:
Para , todas as partes são zero.

Resposta

O valor da integral iterada é .

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