Calcule a integral iterada.
integral0^pi / 2 integral0^cos theta r^3 d r d theta

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos calcular a integral iterada
integral0^pi/2integral0^costhetar^3,dr,dtheta
O conteúdo envolve integrais iteradas, aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo e identidades trigonométricas para potências de cosseno.

Passo 2

Calculamos primeiro a integral interna em r:
integral0^costhetar^3,dr
Usando a fórmula de potência integral r^ndr= r^n+1/(n+1), temos
integral0^costhetar^3,dr=r^44|0^costheta=(costheta)^44

Passo 3

Substituímos esse resultado na integral em theta, ficando
integral0^pi/2integral0^costhetar^3,dr,dtheta=14integral0^pi/2cos^4theta,dtheta
Para calcular integral0^pi/2cos^4theta,dtheta, usamos a identidade de redução de potência:
cos^4theta=3+4cos(2theta)+cos(4theta)8

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a pi/2:
integral0^pi/2cos^4theta,dtheta =integral0^pi/238,dtheta +integral0^pi/24cos(2theta)8,dtheta +integral0^pi/2cos(4theta)8,dtheta
Os dois últimos integrandos são senos de múltiplos de theta que avaliam zero nos limites, sobrando
integral0^pi/2cos^4theta,dtheta=38cdotpi2=3pi16

Passo 5

Multiplicamos esse resultado pelo fator 1/4 que estava fora da integral em theta. Assim, o valor da integral iterada é
14cdot3pi16=3pi64

Resposta

3pi64

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