Expresse a integral iterada como uma integral dupla em coordenadas polares.
integral1 / raiz2^1 integralraiz1-x^2^x(1x^2+y^2) d y d x=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla em coordenadas cartesianas, e a gente precisa reescrever essa integral usando coordenadas polares. Isso envolve entender como transformar os limites de integração e a própria função quando mudamos de um sistema de coordenadas para o outro. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de mudança para coordenadas polares e como interpretar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada. A função dada é 1x^2+y^2. Em coordenadas polares, sabemos que x = r cos theta e y = r sin theta, então x^2+y^2 = r^2. Portanto, a função 1x^2+y^2 se transforma em 1r^2.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os limites de integração. A integral original vai de x = 1raiz2 até x = 1 e, para cada x, de y = raiz1 - x^2 até y = x. Precisamos entender essa região no plano cartesiano para traduzi-la para coordenadas polares.

Passo 4

Vamos desenhar a região: y = raiz1 - x^2 é o semicírculo superior de raio 1, e y = x é a reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus. O intervalo de x vai de 1raiz2 a 1, então estamos olhando para a parte direita dessa região onde essas duas curvas se intersectam.

Passo 5

Em coordenadas polares, a reta y = x corresponde a theta = pi4, já que essa é a inclinação de 45 graus. O semicírculo x^2 + y^2 = 1 é simplesmente r = 1. O limite inferior para r vem de x = 1raiz2, que, em polares, é r cos theta = 1raiz2. Como theta = pi4, temos r = 1raiz2 / cos(pi4) = 1.

Passo 6

Então, os limites de r vão de 1/raiz2 até 1, e theta vai de 0 até pi4 para cobrir toda a região de integração. Além disso, ao mudar para coordenadas polares, não podemos esquecer do fator jacobiano, que é r.

Passo 7

Agora, vamos montar a integral em coordenadas polares. Substituímos a função e os limites de integração, e incluímos o fator r do jacobiano:
integral0^pi4 integral1raiz2^1 (1r^2) r , dr , dtheta
Simplificando a função dentro da integral:
integral0^pi4 integral1raiz2^1 1r , dr , dtheta

Resposta

A integral iterada em coordenadas polares fica:
integral0^pi4 integral1raiz2^1 1r , dr , dtheta

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