Expresse a integral iterada como uma integral dupla em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla em coordenadas cartesianas, e a gente precisa reescrever essa integral usando coordenadas polares. Isso envolve entender como transformar os limites de integração e a própria função quando mudamos de um sistema de coordenadas para o outro. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de mudança para coordenadas polares e como interpretar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada. A função dada é
. Em coordenadas polares, sabemos que
e
, então
. Portanto, a função
se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os limites de integração. A integral original vai de
até
e, para cada
, de
até
. Precisamos entender essa região no plano cartesiano para traduzi-la para coordenadas polares.
Passo 4
Vamos desenhar a região:
é o semicírculo superior de raio 1, e
é a reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus. O intervalo de
vai de
a 1, então estamos olhando para a parte direita dessa região onde essas duas curvas se intersectam.
Passo 5
Em coordenadas polares, a reta
corresponde a
, já que essa é a inclinação de 45 graus. O semicírculo
é simplesmente
. O limite inferior para
vem de
, que, em polares, é
. Como
, temos
.
Passo 6
Então, os limites de
vão de
até 1, e
vai de 0 até
para cobrir toda a região de integração. Além disso, ao mudar para coordenadas polares, não podemos esquecer do fator jacobiano, que é
.
Passo 7
Agora, vamos montar a integral em coordenadas polares. Substituímos a função e os limites de integração, e incluímos o fator
do jacobiano:
Simplificando a função dentro da integral:
Resposta
A integral iterada em coordenadas polares fica: