Resolva o seguinte PVI:
dydt=e^y-t sec(y)(1+t^2), y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
dydt=e^y-tsec(y)l(1+t^2r), y(0)=0
e pede a sua solução. Isso é um EDO separável, pois podemos colocar todos os termos em y de um lado e em t do outro.

Passo 2

Vamos separar variáveis. Primeiro escrevemos
dydt = e^y-tsec(y)l(1+t^2r) = e^ye^-t1cos(y)l(1+t^2r),
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dye^ysec(y) = e^-tl(1+t^2r),dt
Como sec(y)=1/cos(y), isso equivale a
cos(y),e^-y,dy = e^-tl(1+t^2r),dt

Passo 3

Integramos o lado em y:
integral e^-ycos(y),dy
Usando a fórmula
integral e^aycos(by),dy =e^ayl(acos(by)+bsin(by)r)a^2+b^2,
com a=-1 e b=1, obtemos
integral e^-ycos(y),dy =e^-yl(-1cdotcos(y)+1cdotsin(y)r)(-1)^2+1^2 =e^-yl(sin(y)-cos(y)r)2

Passo 4

Integramos o lado em t:
integral e^-tl(1+t^2r),dt =integral e^-t,dt + integral t^2e^-t,dt
Sabemos que
integral e^-t,dt = -e^-t, integral t^2e^-t,dt = -e^-tl(t^2+2t+2r),
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integral e^-tl(1+t^2r),dt =-e^-t-e^-tl(t^2+2t+2r) =-e^-tl(t^2+2t+3r)+C

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C, temos
e^-yl(sin(y)-cos(y)r)2 =-e^-tl(t^2+2t+3r)+C

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=0. Em t=0, y=0:
e^0(sin0-cos0)2=0-12=-12, -e^0(0+0+3)+C=-3+C
Então -tfrac12=-3+C implica C=tfrac52.

Passo 7

Substituindo C=tfrac52 e multiplicando por 2, obtemos a solução implícita
e^-yl(sin(y)-cos(y)r) =5-2,e^-tl(t^2+2t+3r)

Resposta

e^-yl(sin(y)-cos(y)r) =5-2,e^-tl(t^2+2t+3r)

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