Calcule a integral iterada. integral0^pi2 integral0^pi2 sen x cos y d y d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral dupla: . Isso envolve o cálculo de uma integral iterada, onde a gente integra uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais básicas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a que está em relação a integral0^pi2 cos y , dy = sin y g|0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1 . Ou seja, vamos calcular . A integral da é , então substituímos os limites:

Passo 3

Agora que resolvemos a integral interna e sabemos que ela é igual a 1, vamos substituir isso na integral externa. Ficamos com:
integral0^pi2 sin x cdot 1 , dx = integral0^pi2 sin x , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular essa última integral integral0^pi2 sin x , dx = -cos x g|0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1 . A integral de é , então substituímos os limites:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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