Determine a derivada:
y=arctg(2 x+3).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função y=arctg(2x+3). Aqui estamos lidando com cálculo diferencial, e para isso, vamos precisar da regra da derivada da função arco-tangente e também da regra da cadeia, já que temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se calcula a derivada da função arco-tangente. A derivada de y=arctg(u), onde u é uma função de x, é dada pela fórmula:
dydx = 11+u^2 cdot dudx
Agora, no nosso caso, a função interna u é 2x+3. Então, precisamos calcular a derivada de u em relação a x. A derivada de u = 2x + 3 é:
dudx = 2

Passo 3

Agora, colocando as informações na fórmula da derivada que vimos antes, temos:
dydx = 11+(2x+3)^2 cdot 2
Aqui, a parte 1+(2x+3)^2 é só um passo para calcular a fórmula, onde elevamos u ao quadrado:
(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9
Assim, 1+(2x+3)^2 = 1 + 4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 12x + 10.
Então, nossa derivada fica:
dydx = 24x^2 + 12x + 10

Resposta

A derivada de y=arctg(2x+3) é 24x^2 + 12x + 10.

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