Seja o retângulo A=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1. Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo: f(x, y)=1x+y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo da função . Basicamente, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar usar técnicas de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla. Imagine que temos uma superfície representada pela função sobre a região . A integral dupla nos dá o volume sob essa superfície e acima da região .

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. A região integral duplaA 1x + y , dx , dy = integralx=1^2 integraly=0^1 1x + y , dy , dx é um retângulo onde varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Então, podemos escrever a integral dupla assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a integral 1x + y , dy = ln|x + y| + C . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração para ln(x + y) |0^1 = ln(x + 1) - ln(x) de 0 a 1:
integral1^2 [ln(x + 1) - ln(x)] , dx
Então, agora nossa integral dupla se reduz a:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral1^2 ln(x + 1) , dx - integral1^2 ln(x) , dx . Podemos separar essa integral em duas partes:
integral ln(u) , du = u ln(u) - u + C
Sabemos que a integral de em relação a é:

Passo 7

Aplicando essa regra para cada parte:
Para (x + 1) ln(x + 1) - (x + 1) :
x ln(x) - x
Para :

Passo 8

Agora, avaliamos cada parte entre os limites de 1 a 2.
Primeira parte:
[(x + 1) ln(x + 1) - (x + 1)]1^2 = [3 ln(3) - 3] - [2 ln(2) - 2] = 3 ln(3) - 3 - 2 ln(2) + 2
Segunda parte:
[x ln(x) - x]1^2 = [2 ln(2) - 2] - [1 ln(1) - 1] = 2 ln(2) - 2 - (0 - 1) = 2 ln(2) - 2 + 1

Passo 9

Subtraindo a segunda parte da primeira:
(3 ln(3) - 3 - 2 ln(2) + 2) - (2 ln(2) - 2 + 1) = 3 ln(3) - 3 - 2 ln(2) + 2 - 2 ln(2) + 2 - 1
Simplificando:
3 ln(3) - 4 ln(2) + 0

Resposta

integral duplaA 1x + y , dx , dy = 3 ln(3) - 4 ln(2)

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