Seja f: R R uma função diferenciável até a segunda ordem e seja g dada por g(x)=f(e^2 x). Verifique que g^prime prime(x)=4 e^2 x[f^prime(e^2 x)+e^2 x f^prime prime(e^2 x)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é diferenciável até a segunda ordem. Isso significa que a gente pode calcular sua primeira e segunda derivadas sem problemas. A função é definida por . Nosso objetivo aqui é verificar que a segunda derivada de , ou seja, , é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pra derivar uma função composta como , a gente precisa usar a Regra da Cadeia. Essa regra diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Então, vamos começar calculando a primeira derivada de .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de g'(x) = ddx f(e^2x) :
g'(x) = f'(e^2x) cdot ddx e^2x
Aplicando a Regra da Cadeia:
g'(x) = f'(e^2x) cdot 2 e^2x = 2 e^2x f'(e^2x)
Sabemos que a derivada de em relação a é , então:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a segunda derivada de g'(x) = 2 e^2x f'(e^2x) , ou seja, g''(x) = ddx (2 e^2x) cdot f'(e^2x) + 2 e^2x cdot ddx f'(e^2x) . Para isso, vamos derivar ddx f'(e^2x) = f''(e^2x) cdot 2 e^2x novamente em relação a g''(x) = 4 e^2x f'(e^2x) + 2 e^2x cdot 2 e^2x f''(e^2x) .
Temos:
g''(x) = 4 e^2x f'(e^2x) + 4 e^4x f''(e^2x)
Vamos derivar cada parte usando a Regra do Produto, já que g''(x) = 4 e^2x [ f'(e^2x) + e^2x f''(e^2x) ] é o produto de e .
Aplicando a Regra do Produto:
Calculando cada termo:
  1. Para , aplicamos novamente a Regra da Cadeia:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Fatorando :

Resposta

Então, verificamos que:
g''(x) = 4 e^2x [ f'(e^2x) + e^2x f''(e^2x) ]

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