Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^t raiz1-v^2 d u d v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla: . Basicamente, estamos somando valores de em uma região definida pelos limites de e . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função primeiro em uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Olha só: a integral interna é . Note que não depende de , então podemos tratar como uma constante em relação a .

Passo 3

Quando temos uma constante dentro da integral, integrar em relação a integral0^t raiz1 - v^2 , du = raiz1 - v^2 cdot integral0^t du = raiz1 - v^2 cdot (t - 0) = t cdot raiz1 - v^2 é simples. Então:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, substituímos de volta na integral externa. Ficou assim:
integral0^1 t cdot raiz1 - v^2 , dv
Aqui, precisamos notar que é uma constante em relação a , pois estamos integrando em .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral externa. Temos:
integral0^1 t cdot raiz1 - v^2 , dv
Isso é igual a integral raiz1 - v^2 , dv = v2 raiz1 - v^2 + 12 arcsin(v) + C vezes a integral de de 0 a 1. Sabemos que:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Quando 12 cdot 1 cdot raiz1 - 1^2 + 12 arcsin(1) = 0 + 12 cdot pi2 = pi4 :
02 cdot raiz1 - 0^2 + 12 arcsin(0) = 0 + 0 = 0
Quando :
Então, a integral de 0 a 1 de é .

Resposta

Portanto, a integral original vale:
t cdot pi4

Exercícios relacionados