Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla:
. Basicamente, estamos somando valores de
em uma região definida pelos limites de
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função primeiro em uma variável e depois na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Olha só: a integral interna é
. Note que
não depende de
, então podemos tratar como uma constante em relação a
.
Passo 3
Quando temos uma constante dentro da integral, integrar em relação a
é simples. Então:
Passo 4
Agora que resolvemos a integral interna, substituímos de volta na integral externa. Ficou assim:
Aqui, precisamos notar que
é uma constante em relação a
, pois estamos integrando em
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral externa. Temos:
Isso é igual a
vezes a integral de
de 0 a 1. Sabemos que:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Quando
:
Quando
:
Então, a integral de 0 a 1 de
é
.
Resposta
Portanto, a integral original vale: