Prove, por meio das equações de Cauchy-Riemann, que as seguintes funções não possuem derivada em nenhum ponto
:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar, usando as Equações de Cauchy-Riemann, que a função
não possui derivada em nenhum ponto
. Isso está relacionado à análise de funções complexas e ao conceito de derivabilidade nesse contexto.
Passo 2
Vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função
ser diferenciável em um ponto, ela deve satisfazer:
Essas condições garantem que a função seja holomorfa (diferenciável em todos os pontos de um domínio aberto).
Passo 3
Vamos expressar a função
em termos de
e
:
Portanto:
Assim, podemos escrever
, onde:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
:
Passo 5
Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
A primeira equação
não é verdadeira, o que significa que as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto
.
Resposta
Portanto, pela violação das Equações de Cauchy-Riemann, concluímos que a função
não possui derivada em nenhum ponto
.