Prove, por meio das equações de Cauchy-Riemann, que as seguintes funções não possuem derivada em nenhum ponto z = x + y i: g(z) = z - z barra.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar, usando as Equações de Cauchy-Riemann, que a função não possui derivada em nenhum ponto . Isso está relacionado à análise de funções complexas e ao conceito de derivabilidade nesse contexto.

Passo 2

Vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela deve satisfazer:
Essas condições garantem que a função seja holomorfa (diferenciável em todos os pontos de um domínio aberto).

Passo 3

Vamos expressar a função em termos de e :
Portanto:
Assim, podemos escrever , onde:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e :

Passo 5

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
A primeira equação não é verdadeira, o que significa que as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto .

Resposta

Portanto, pela violação das Equações de Cauchy-Riemann, concluímos que a função não possui derivada em nenhum ponto .

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