Indique a afirmação falsa.
© Se f: R -> R é contínua e existem constantes a >= 0 e b ≥ 0 tais que |f(x)| <= a|x| + b para todo x em R, então f é uniformemente contínua em R.

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte afirmação para analisar:
© Se é contínua e existem constantes e tais que para todo , então é uniformemente contínua em .
A matéria que vamos usar aqui envolve continuidade e continuidade uniforme de funções reais. Precisamos entender o que significa uma função ser uniformemente contínua e como a condição dada na afirmação influencia isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se pequenos incrementos em resultam em pequenos incrementos em . Em termos mais formais, para todo , existe um tal que se , então .
Agora, uniformemente contínua é um pouco mais forte. A diferença é que o depende apenas de e não do ponto . Ou seja, para toda , existe um válido para todos os pontos de .

Passo 3

A afirmação diz que se é contínua e cresce no máximo como , então é uniformemente contínua. Vamos verificar se isso é sempre verdade.
Sabemos que funções com crescimento linear, ou seja, que são limitadas por , não necessariamente são uniformemente contínuas em todo . Um exemplo clássico é a função , que satisfaz , mas não é uniformemente contínua em .

Passo 4

Por quê? Porque para , dado qualquer , se a gente escolher e muito distantes, a diferença pode ser maior que , mesmo que . Ou seja, não conseguimos um que funcione para todos os e no infinito.

Passo 5

Isso mostra que a afirmação © nem sempre é verdadeira. A condição dada não garante uniformemente contínua, já que há funções que satisfazem mas não são uniformemente contínuas.

Resposta

A afirmação © é falsa.

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