Indique a afirmação falsa.
© Se
é contínua e existem constantes
e
tais que
para todo
, então
é uniformemente contínua em
.
© Se
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte afirmação para analisar:
© Se
é contínua e existem constantes
e
tais que
para todo
, então
é uniformemente contínua em
.
A matéria que vamos usar aqui envolve continuidade e continuidade uniforme de funções reais. Precisamos entender o que significa uma função ser uniformemente contínua e como a condição dada na afirmação influencia isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto se pequenos incrementos em
resultam em pequenos incrementos em
. Em termos mais formais, para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Agora, uniformemente contínua é um pouco mais forte. A diferença é que o
depende apenas de
e não do ponto
. Ou seja, para toda
, existe um
válido para todos os pontos de
.
Passo 3
A afirmação diz que se
é contínua e cresce no máximo como
, então
é uniformemente contínua. Vamos verificar se isso é sempre verdade.
Sabemos que funções com crescimento linear, ou seja, que são limitadas por
, não necessariamente são uniformemente contínuas em todo
. Um exemplo clássico é a função
, que satisfaz
, mas não é uniformemente contínua em
.
Passo 4
Por quê? Porque para
, dado qualquer
, se a gente escolher
e
muito distantes, a diferença
pode ser maior que
, mesmo que
. Ou seja, não conseguimos um
que funcione para todos os
e
no infinito.
Passo 5
Isso mostra que a afirmação © nem sempre é verdadeira. A condição dada não garante uniformemente contínua, já que há funções que satisfazem
mas não são uniformemente contínuas.
Resposta
A afirmação © é falsa.