Calcule a integral iterada.
integral0^2 integral0^1(2 x-y)^8 d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral0^2integral0^1(2x - y)^8,dx,dy. O conteúdo aqui é integração de um polinômio em duas variáveis, integrando primeiro em x e depois em y, usando o método de substituição e a regra da potência.

Passo 2

Para integrar em x mantenho y como constante e faço a substituição
u = 2x - y,
portanto
dx = du2
Quando x=0, u=-y e quando x=1, u=2-y. Assim
integral0^1(2x - y)^8,dx = integral-y^2-yu^8du2 = 12cdot(2-y)^9-(-y)^99 = 118l((2-y)^9-(-y)^9r)

Passo 3

Agora integro em y usando o resultado anterior:
integral0^2118l((2-y)^9 - (-y)^9r),dy
Separo em duas integrais:
integral0^2(2-y)^9,dy = 5125
pela substituição t=2-y, e
integral0^2(-y)^9,dy = -5125
pela regra da potência. Somando e multiplicando por 1/18
118l(tfrac5125+tfrac5125r) = 51245

Resposta

dfrac51245

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