Determine a expansão de Laurent da função dada em torno de cada uma de suas singularidades, especificando o anel no qual ela é válida.
f(z)=1z^2(z+i);

Passo 1

O enunciado dá
f(z)=1z^2(z+i),
que tem um polo de ordem 2 em z=0 e um polo simples em z=-i. Precisamos achar a expansão de Laurent centrada em cada uma dessas singularidades, válida até a singularidade mais próxima (isto é, até distância 1).

Passo 2

Vamos primeiro expandir em torno de z=0. Escrevemos
f(z)=1z^2(z+i) =1i,z^2;11+zi
e usamos a série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^nu^n, |u|<1,
com u=tfraczi. Assim, para lvert zrvert<1,
f(z) =1i,z^2sumn=0^infty(-1)^nl(zir)^n =sumn=0^infty(-1)^ni^,n+1,z^,n-2

Passo 3

Portanto, a expansão de Laurent em torno de z=0 é
boxed 1z^2(z+i) =sumn=0^infty(-1)^ni^,n+1,z^,n-2, 0<|z|<1

Passo 4

Agora expandimos em torno de z=-i. Defina w=z+i; então z=w-i e
f(z)=1(w-i)^2,w =1w;1(w-i)^2
Para |w|<|i|=1 usamos
1(w-i)^2 =1(-i)^2;1l(1-wir)^2 =-sumn=0^infty(n+1)l(wir)^n,
pois 1(1-z)^2=sumn=0^infty(n+1)z^n. Logo
f(z) =1w,l[-sumn=0^infty(n+1)i^-nw^nr] =-sumn=0^infty(n+1),i^-n,w^,n-1

Passo 5

Substituindo w=z+i, a expansão de Laurent em torno de z=-i fica
boxed 1z^2(z+i) =-sumn=0^infty(n+1),i^-n,(z+i)^,n-1, 0<|z+i|<1

Resposta

Expansão em torno de z=0, válida em 0<|z|<1:
1z^2(z+i) =sumn=0^infty(-1)^ni^,n+1,z^,n-2
Expansão em torno de z=-i, válida em 0<|z+i|<1:
1z^2(z+i) =-sumn=0^infty(n+1),i^-n,(z+i)^,n-1

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