Determine a expansão de Laurent da função dada em torno de cada uma de suas singularidades, especificando o anel no qual ela é válida.
;
Passo 1
O enunciado dá
que tem um polo de ordem 2 em
e um polo simples em
. Precisamos achar a expansão de Laurent centrada em cada uma dessas singularidades, válida até a singularidade mais próxima (isto é, até distância 1).
Passo 2
Vamos primeiro expandir em torno de
. Escrevemos
e usamos a série geométrica
com
. Assim, para
,
Passo 3
Portanto, a expansão de Laurent em torno de
é
Passo 4
Agora expandimos em torno de
. Defina
; então
e
Para
usamos
pois
. Logo
Passo 5
Substituindo
, a expansão de Laurent em torno de
fica
Resposta
Expansão em torno de
, válida em
:
Expansão em torno de
, válida em
: