Calcule a integral tripla.
integral triplaE 6 x y d V, onde E=(x, y, z) ; 0 <= y <= 2,0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= z <= y.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral triplaE6,x,y,dV
sobre o sólido
E=l(x,y,z)mid 0<= y<=2,;0<= x<=raiz4-y^2,;0<= z<= yr
O conteúdo é aplicação de integrais triplas em coordenadas cartesianas usando o Teorema de Fubini. Vamos descrever o sólido em termos de integrais iteradas e calcular passo a passo.

Passo 2

Pela Fubini, escolhemos a ordem dz,dx,dy. Primeiro escrevemos
integral triplaE6,x,y,dV =integraly=0^2integralx=0^raiz4-y^2integralz=0^y6,x,y,dz,dx,dy

Passo 3

Integramos em z, tratando x e y como constantes:
integralz=0^y6,x,y,dz =6,x,y;l[zr]0^y =6,x,ycdot y =6,x,y^2

Passo 4

Agora integramos essa expressão em x:
integralx=0^raiz4-y^26,x,y^2,dx =6,y^2integral0^raiz4-y^2x,dx =6,y^2cdot12l[x^2r]0^raiz4-y^2 =3,y^2,(4-y^2) =12,y^2-3,y^4

Passo 5

Por fim, integramos em y:
integraly=0^2l(12,y^2-3,y^4r),dy =12integral0^2y^2,dy-3integral0^2y^4,dy =12cdot2^33-3cdot2^55 =12cdot83-3cdot325 =32-965 =160-965 =645

Resposta

boxed645

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