Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^x integral0^x+y(x+y+z) dz dy dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
integral0^1integral0^xintegral0^x+y(x+y+z),dz,dy,dx
O conteúdo envolve integrais iteradas e uso do Teorema de Fubini para integrar em cada variável na ordem z, depois y e por fim x.

Passo 2

Primeiro integramos em z, tratando x e y como constantes:
integral0^x+y(x+y+z),dz =integral0^x+y(x+y),dz+integral0^x+yz,dz =(x+y)(x+y)+(x+y)^22 =32(x+y)^2
Com isso a integral vira
integral0^1integral0^x32(x+y)^2,dy,dx

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^x(x+y)^2,dy =[(x+y)^33]0^x =(2x)^3-x^33 =7x^33
Multiplicando por tfrac32 obtemos
integral0^x32(x+y)^2,dy =32cdot7x^33 =72,x^3
Assim resta
integral0^172x^3,dx

Passo 4

Finalmente, integramos em x:
integral0^1x^3,dx =[x^44]0^1 =14
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integral0^172x^3,dx =72cdot14 =78

Resposta

78

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