Calcule a integral iterada
integral0^1 integral0^3 e^x+3 y d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral iterada da função sobre a região onde varia de 0 a 3 e varia de 0 a 1. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a . A função a integrar é . Como é considerado constante nessa etapa, podemos simplificar a expressão para .

Passo 3

Integrando integral0^3 e^x + 3y , dx = e^3y integral0^3 e^x , dx = e^3y [ e^x ]0^3 = e^3y (e^3 - e^0) = e^3y (e^3 - 1) em relação a , temos:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a integral0^1 e^3y (e^3 - 1) , dy = (e^3 - 1) integral0^1 e^3y , dy :

Passo 5

Vamos integrar integral e^3y , dy = 13 e^3y + C em relação a [ 13 e^3y ]0^1 = 13 (e^3 - e^0) = 13 (e^3 - 1) :
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 6

Multiplicando pelo fator (e^3 - 1) cdot 13 (e^3 - 1) = (e^3 - 1)^23 que tínhamos:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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