Derive:
y=e^x cos (2 x).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que derivar a função y = e^x cos(2x). Estamos lidando aqui com cálculo diferencial, e para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar a função y = e^x cos(2x), vamos usar a regra do produto, que diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, a derivada é dada por:
$ (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $
Aqui, vamos considerar:
  • (u cdot v)' = u' cdot v + u cdot v' , que é a primeira parte da nossa função.
  • u = e^x, que é a segunda parte da nossa função.
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de v = cos(2x) e u.

Passo 3

Vamos começar derivando u:
  • A derivada de u = e^x é u' = e^x, porque a derivada de e^x continua sendo e^x.
Agora vamos derivar v = cos(2x) usando a regra da cadeia. A derivada de cos(kx) é -k sin(kx), onde k é a constante. Neste caso, k = 2.
Então, derivando v:
  • Temos que v' = -2 sin(2x).

Passo 4

Agora que temos u', u, v' e v, podemos aplicar a regra do produto:
y' = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo os valores que encontramos:
y' = e^x cdot cos(2x) + e^x cdot (-2 sin(2x))
Agora podemos simplificar isso.

Passo 5

Então temos:
y' = e^x cos(2x) - 2 e^x sin(2x)
Por fim, se quisermos deixar a resposta um pouco mais organizada, podemos fatorar o e^x:
y' = e^x (cos(2x) - 2 sin(2x))

Resposta

A derivada de y = e^x cos(2x) é y' = e^x (cos(2x) - 2 sin(2x)).

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