Calcule a integral iterada.
integral1^3 integral-1^2 integral-y^2y zy d z d x d y

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente calcule a integral tripla
integraly=1^3!integralx=-1^2!integralz=-y^2yzy,dz,dx,dy
Isso é conteúdo de cálculo de integrais iteradas (ou múltiplas).
Para resolver, a gente vai usar:
  1. a definição de integral simples e o Teorema Fundamental do Cálculo pra cada variável;
  2. a propriedade de que, quando a função não depende de uma certa variável, dá pra fatorar ou multiplicar pelo comprimento do intervalo.

Passo 2

Integramos primeiro em integralz=-y^2yzy,dz , mantendo 1yintegral-y^2y z,dz fixo.
integral z,dz = z^22,
Como 1y,l[z^22r]z=-y^z=2y = 1y,l((2y)^22 - (-y)^22r) = 1y,4y^2 - y^22 = 3y^22y = 3y2 é constante em relação a , puxamos pra fora:
Agora aplicamos o Teorema Fundamental:
então

Passo 3

Agora a integral interna em integralx=-1^23y2,dx :
integral-1^23y2,dx = 3y2,(2 - (-1)) = 3y2times 3 = 9y2
Repara que não depende de , então

Passo 4

Por fim, integramos em integraly=1^39y2,dy = 92integral1^3y,dy = 92,l[y^22r]1^3 = 92,l(92 - 12r) = 92times82 = 9times 84 = 18 :

Resposta

O valor da integral é .

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