Calcule a integral
, onde
utilizando três ordens diferentes de integração.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra calcular a integral tripla
onde
Isso é um exercício de integrais múltiplas (teorema de Fubini) num paralelepípedo.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Entender que, por Fubini, dá pra trocar a ordem de integração.
- Saber integrar polinômios de uma variável.
- Ir passo a passo, sem pular nada.
Passo 2
Ordem de integração:
.
- Começo escrevendo
2) Integro em
$$\int_{0}^{3}(x y + z^{2}),dz = x y\int_{0}^{3}dz ;+;\int_{0}{3}z{2}dz
= x y\cdot3 ;+;\Bigl[\tfrac{z{3}}{3}\Bigr]_{0}{3}
= 3xy + 9.
\int_{0}^{1}(3xy + 9),dy = 3x\int_{0}^{1}y,dy + 9\int_{0}^{1}dy
= 3x\cdot\tfrac12 + 9\cdot1 = \tfrac{3}{2}x + 9.
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{3}{2}x + 9\Bigr),dx
= \tfrac{3}{2}\int_{0}^{2}x,dx + 9\int_{0}^{2}dx
= \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{2^{2}}{2} + 9\cdot2
= \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{2^{2}}{2} + 9\cdot2
= 3 + 18 = 21.$$
Passo 3
Ordem de integração:
.
- Escrevo
2) Em
$$\int_{0}^{2}(x y + z^{2}),dx
= y\int_{0}^{2}x,dx + z{2}\int_{0}{2}dx
= y\cdot\tfrac{2^{2}}{2} + z^{2}\cdot2
= y\cdot\tfrac{2^{2}}{2} + z^{2}\cdot2
= 2y + 2z^{2}.
\int_{0}^{3}(2y + 2z^{2}),dz
= 2y\int_{0}^{3}dz + 2\int_{0}{3}z{2}dz
= 2y\cdot3 + 2\cdot9
= 2y\cdot3 + 2\cdot9
= 6y + 18.
\int_{0}^{1}(6y + 18),dy
= 6\int_{0}^{1}y,dy + 18\int_{0}^{1}dy
= 6\cdot\tfrac12 + 18\cdot1
= 6\cdot\tfrac12 + 18\cdot1
= 3 + 18 = 21.$$
Passo 4
Ordem de integração:
.
- Escrevo
2) Em
$$\int_{0}^{1}(x y + z^{2}),dy
= x\int_{0}^{1}y,dy + z{2}\int_{0}{1}dy
= x\cdot\tfrac12 + z^{2}
= x\cdot\tfrac12 + z^{2}
= \tfrac{x}{2} + z^{2}.
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{x}{2} + z^{2}\Bigr),dx
= \tfrac12\int_{0}^{2}x,dx + z{2}\int_{0}{2}dx
= \tfrac12\cdot\tfrac{2^{2}}{2} + z^{2}\cdot2
= \tfrac12\cdot\tfrac{2^{2}}{2} + z^{2}\cdot2
= 1 + 2z^{2}.
\int_{0}^{3}(1 + 2z^{2}),dz
= \int_{0}^{3}1,dz + 2\int_{0}{3}z{2},dz
= 3 + 2\cdot9
= 3 + 2\cdot9
= 3 + 18 = 21.$$
Resposta
O valor da integral é
.