Calcule a integral integral duplavarepsilon(x y+z^2) d V, onde
B=(x, y, z) mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,0 <= z <= 3
utilizando três ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra calcular a integral tripla
integral duplaB(x,y + z^2),dV
onde
B=(x,y,z)mid 0<= x<=2,;0<= y<=1,;0<= z<=3
Isso é um exercício de integrais múltiplas (teorema de Fubini) num paralelepípedo.
O que a gente vai precisar:
  • Entender que, por Fubini, dá pra trocar a ordem de integração.
  • Saber integrar polinômios de uma variável.
  • Ir passo a passo, sem pular nada.

Passo 2

Ordem de integração: zto yto x.
  1. Começo escrevendo
integralx=0^2!integraly=0^1!integralz=0^3(x y + z^2),dz,dy,dx
2) Integro em z (tratando x y como constante em relação a z):
$$\int_{0}^{3}(x y + z^{2}),dz = x y\int_{0}^{3}dz ;+;\int_{0}{3}z{2}dz
= x y\cdot3 ;+;\Bigl[\tfrac{z{3}}{3}\Bigr]_{0}{3}
= 3xy + 9. integral0^3(x y + z^2),dz = x yintegral0^3dz ;+;integral0^3z^2dz = x ycdot3 ;+;l[tfracz^33r]0^3 = 3xy + 9\int_{0}^{1}(3xy + 9),dy = 3x\int_{0}^{1}y,dy + 9\int_{0}^{1}dy
= 3x\cdot\tfrac12 + 9\cdot1 = \tfrac{3}{2}x + 9. y\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{3}{2}x + 9\Bigr),dx
= \tfrac{3}{2}\int_{0}^{2}x,dx + 9\int_{0}^{2}dx
= \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{2^{2}}{2} + 9\cdot2
= 3 + 18 = 21.$$

Passo 3

Ordem de integração: xto zto y.
  1. Escrevo
integraly=0^1!integralz=0^3!integralx=0^2(x y + z^2),dx,dz,dy
2) Em x:
$$\int_{0}^{2}(x y + z^{2}),dx
= y\int_{0}^{2}x,dx + z{2}\int_{0}{2}dx
= y\cdot\tfrac{2^{2}}{2} + z^{2}\cdot2
= 2y + 2z^{2}. integral0^2(x y + z^2),dx = yintegral0^2x,dx + z^2integral0^2dx = ycdottfrac2^22 + z^2cdot2 = 2y + 2z^2\int_{0}^{3}(2y + 2z^{2}),dz
= 2y\int_{0}^{3}dz + 2\int_{0}{3}z{2}dz
= 2y\cdot3 + 2\cdot9
= 6y + 18. z\int_{0}^{1}(6y + 18),dy
= 6\int_{0}^{1}y,dy + 18\int_{0}^{1}dy
= 6\cdot\tfrac12 + 18\cdot1
= 3 + 18 = 21.$$

Passo 4

Ordem de integração: yto xto z.
  1. Escrevo
integralz=0^3!integralx=0^2!integraly=0^1(x y + z^2),dy,dx,dz
2) Em y:
$$\int_{0}^{1}(x y + z^{2}),dy
= x\int_{0}^{1}y,dy + z{2}\int_{0}{1}dy
= x\cdot\tfrac12 + z^{2}
= \tfrac{x}{2} + z^{2}. integral0^1(x y + z^2),dy = xintegral0^1y,dy + z^2integral0^1dy = xcdottfrac12 + z^2 = tfracx2 + z^2\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{x}{2} + z^{2}\Bigr),dx
= \tfrac12\int_{0}^{2}x,dx + z{2}\int_{0}{2}dx
= \tfrac12\cdot\tfrac{2^{2}}{2} + z^{2}\cdot2
= 1 + 2z^{2}. x\int_{0}^{3}(1 + 2z^{2}),dz
= \int_{0}^{3}1,dz + 2\int_{0}{3}z{2},dz
= 3 + 2\cdot9
= 3 + 18 = 21.$$

Resposta

O valor da integral é 21,.

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