Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^2 y integral0^1+y 6 x y d z d x d y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular essa integral tripla aqui:
integral0^1!!integral0^2y!!integral0^1+y 6,x,y ;dz;dx;dy
Isso faz parte de Cálculo de funções de várias variáveis, mais especificamente de integrais iteradas. Vamos usar as regras básicas de integração (como a gente faz na unidimensional) aplicadas passo a passo em cada variável.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a integrala^b C,dz = C,(b - a) , tratando integral0^1+y 6,x,y ;dz = 6,x,y ;l[zr]0^1+y = 6,x,y,(1+y - 0) = 6,x,y,(1+y) como constante (porque não depende de ). A teoria aqui é:
Então

Passo 3

Agora ficamos com
integral0^1!integral0^2y 6,x,y,(1+y);dx;dy
Antes de tocar em 6,x,y,(1+y) = 6,x,y + 6,x,y^2 , expandimos ou fatoramos para deixar mais claro:
integral x^n,dx = x^n+1n+1
E integramos em integral0^2y (6xy + 6xy^2),dx = 6yintegral0^2y x,dx ;+; 6y^2integral0^2y x,dx . A regra que usamos é
6ycdot 2y^2 ;+; 6y^2cdot 2y^2 = 12,y^3 + 12,y^4
Logo
Cada
Então

Passo 4

Agora sobra só a integral em integral0^1 (12y^3 + 12y^4),dy :
integral0^112y^3,dy = 12cdoty^44|0^1 = 3,
De novo usamos integral0^112y^4,dy = 12cdoty^55|0^1 = 125 . Então
3 + 125 = 155 + 125 = 275
Somando dá

Resposta

Exercícios relacionados