Calcule a integral iterada:
integral1^2 integral0^x integral0^1-y x^3 y^2 z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis passo a passo, cuidando bem dos limites de integração. Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que precisamos calcular:
integral1^2 integral0^x integral0^1-y x^3 y^2 z , dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função $ x^{3} y^{2} z $ sobre a região definida pelos limites de $ z $, $ y $ e $ x $.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a $ z $. Fixando $ x $ e $ y $, a integral em $ z $ fica assim:
z
Como $ x $ e $ y $ são constantes em relação a $ z $, podemos tirar esses termos para fora da integral:
x
Agora, vamos integrar $ z $ em relação a $ z $:
y
Aplicando os limites de integração:
z
Então, a integral em $ z $ fica:
integral0^1-y x^3 y^2 z , dz

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $, com $ y $ variando de 0 a $ x $:
y
Vamos simplificar:
y
Primeiro, vamos expandir $ (1 - y)^{2} $:
x
Multiplicando por $ y^{2} $:
integral0^x 12 x^3 y^2 (1 - y)^2 , dy
Agora, integramos cada termo separadamente:
12 x^3 integral0^x y^2 (1 - y)^2 , dy
(1 - y)^2
(1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2
Então, a integral em $ y $ fica:
y^2
Multiplicando pelo fator $ \frac{1}{2} x^{3} $:
y^2 (1 - y)^2 = y^2 - 2y^3 + y^4

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ x $, com $ x $ variando de 1 a 2:
x
Vamos integrar cada termo separadamente:
x
integral1^2 ( 16 x^6 - 14 x^7 + 110 x^8 ) dx
integral 16 x^6 , dx = 16 cdot 17 x^7 = 142 x^7
Então, a integral completa fica:
integral -14 x^7 , dx = -14 cdot 18 x^8 = -132 x^8

Passo 6

Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de integração $ x = 2 $ e $ x = 1 $:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Simplificando:
x = 1
Então:
x = 2
Convertendo para o mesmo denominador (315):
142 (2)^7 - 132 (2)^8 + 190 (2)^9 = 12842 - 25632 + 51290
Para $ x = 1 $:
12842 = 6421, 25632 = 8, 51290 = 25645
Subtraindo os dois resultados:
6421 - 8 + 25645
Simplificando a fração:
960315 - 2520315 + 1792315 = 738710080

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{35}{48} $.

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