Calcule a integral iterada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis passo a passo, cuidando bem dos limites de integração. Então, vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que precisamos calcular:
Aqui, estamos integrando a função $ x^{3} y^{2} z $ sobre a região definida pelos limites de $ z $, $ y $ e $ x $.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a $ z $. Fixando $ x $ e $ y $, a integral em $ z $ fica assim:
Como $ x $ e $ y $ são constantes em relação a $ z $, podemos tirar esses termos para fora da integral:
Agora, vamos integrar $ z $ em relação a $ z $:
Aplicando os limites de integração:
Então, a integral em $ z $ fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $, com $ y $ variando de 0 a $ x $:
Vamos simplificar:
Primeiro, vamos expandir $ (1 - y)^{2} $:
Multiplicando por $ y^{2} $:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral em $ y $ fica:
Multiplicando pelo fator $ \frac{1}{2} x^{3} $:
Passo 5
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ x $, com $ x $ variando de 1 a 2:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de integração $ x = 2 $ e $ x = 1 $:
Para $ x = 2 $:
Simplificando:
Então:
Convertendo para o mesmo denominador (315):
Para $ x = 1 $:
Subtraindo os dois resultados:
Simplificando a fração:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{35}{48} $.