integral triplaT x y z d x d y d z, T é o paralelepípedo
0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaT x,y,z ,dx,dy,dz,
onde T é o paralelepípedo definido por
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= 2
O conteúdo é integração múltipla e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever a integral tripla como iterada.

Passo 2

Começamos integrando em z, tratando x e y como constantes:
integral1^2 x,y,z ,dz = x,y integral1^2 z ,dz
integral1^2 z ,dz = z^22|1^2 = 42-12 = 32
Logo a integral em z vale tfrac32x,y.

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^1 32x,y ,dy = 32x integral0^1 y ,dy = 32xcdot12 = 34x

Passo 4

Por fim, integramos em x:
integral0^2 34x ,dx = 34 integral0^2 x ,dx = 34cdotx^22|0^2 = 34cdot42 = 32

Passo 5

Reunindo tudo, o valor da integral tripla é
integral triplaT x,y,z ,dx,dy,dz = 32

Resposta

32

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