integral triplaT raiz1-z^2 d x d y d z, T é o conjunto
0 <= x <= 1,0 <= z <= 1 e 0 <= y <= z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaT raiz1 - z^2;dx,dy,dz
onde T é o sólido definido por
0 <= x <= 1, 0 <= y <= z, 0 <= z <= 1
Aqui vamos usar o Teorema de Fubini para separar a integral múltipla em integrais iteradas.

Passo 2

Escrevendo a integral em forma iterada e observando que raiz1 - z^2 não depende de x nem de y, temos
integral triplaT raiz1 - z^2;dx,dy,dz =integralz=0^1integraly=0^zintegralx=0^1raiz1 - z^2;dx,dy,dz
Fazendo primeiro a integração em x e y:
integraly=0^zintegralx=0^1dx,dy = integraly=0^z1,dy = z
Logo a integral tripla reduz-se a
integral0^1z,raiz1 - z^2;dz

Passo 3

Para calcular
I = integral0^1z,raiz1 - z^2;dz
fazer a substituição u = 1 - z^2, de modo que du = -2z,dz e z,dz = -tfrac12,du. Os limites em u são: quando z=0, u=1; quando z=1, u=0. Assim
I = -tfrac12 integralu=1^0u^1/2,du = tfrac12 integral0^1u^1/2,du

Passo 4

Calcular o integral em u:
tfrac12 integral0^1u^1/2,du = tfrac12 gl[u^3/23/2gr]0^1 = tfrac12 cdot 23 = 13

Resposta

13

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