Calcule a integral iterada
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^x y z d y d z d x
Dê sua resposta na forma de fração, tipo a/b

Passo 1

Vamos calcular a integral iterada integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^x y z , dy , dz , dx . Esse exercício envolve integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos integrar passo a passo, começando por y , depois z e, por fim, x .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a y :
integral0^x y z , dy
Aqui, z é tratado como uma constante em relação a y . Integrando y temos:
z integral0^x y , dy = z [ y^22 ]0^x = z ( x^22 - 0 ) = x^2 z2

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a z :
integral0^raiz9-x^2 x^2 z2 , dz
Fatorando a constante x^22 :
x^22 integral0^raiz9-x^2 z , dz = x^22 [ z^22 ]0^raiz9-x^2 = x^22 ( 9 - x^22 ) = x^2 (9 - x^2)4

Passo 4

Finalmente, integramos em relação a x :
integral0^3 x^2 (9 - x^2)4 , dx = 14 integral0^3 (9x^2 - x^4) , dx
Calculando as integrais separadamente:
14 [ 9 integral0^3 x^2 , dx - integral0^3 x^4 , dx ] = 14 [ 9 ( 3^33 ) - ( 3^55 ) ]
Simplificando:
14 [ 9 times 9 - 2435 ] = 14 [ 81 - 2435 ] = 14 times 1625 = 8110

Resposta

A integral vale 8110 .

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