Determine a função de x que torne a EDO (2x^2 + 4xy - 6y^2)dx + (4x^2 -12xy + 5y^2)dy = 0 uma equação exata. Em seguida, determine a solução da EDO.

Passo 1

A equação diferencial dada é (2x^2 + 4xy - 6y^2),dx + (4x^2 -12xy + 5y^2),dy = 0. Isso cai no conteúdo de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, e vamos primeiro testar se existe fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Para testar fator integrante mu(x), calculamos
M=2x^2+4xy-6y^2, N=4x^2-12xy+5y^2,
My=4x-12y, Nx=8x-12y
O teste para mu(x) pede que
My - NxN seja função só de xçãó
Aqui
My - Nx=(4x-12y)-(8x-12y)=-4x,
My - NxN=-4x4x^2-12xy+5y^2,
que depende de y. Logo não existe fator integrante que dependa apenas de x.

Passo 3

Como não há mu(x) simples, notamos que M e N são homogêneos de grau 2. Isso sugere a substituição de Euler:
y=vx, dy=v,dx + x,dv

Passo 4

Substituindo na equação original e dividindo por x^2 obtemos a ODE em v:
$$x\frac{dv}{dx} = -\frac{2 + 8v -18v^2 +5v^3}{4 -12v +5v^2}.
xdvdx = -2 + 8v -18v^2 +5v^34 -12v +5v^2 éá\int \frac{5v^2 -12v +4}{-5v^3 +18v^2 -8v -2},dv = \int \frac{dx}{x}.
$$

Passo 5

Integramos ambos os lados. O lado de x ln|x|+C. O lado em v produz uma combinação de logaritmo e arctan por frações parciais. Voltando a v=y/x, escrevemos a solução geral de forma implícita:
-tfrac13lnl|5y^3 -18xy^2 +8x^2y +2x^3r| ; - ; 4raiz23arctan!l(5y-6xraiz23,xr) = ln|x| + C

Resposta

Não existe fator integrante dependente só de x. A solução geral da EDO, em forma implícita, é
-tfrac13lnl|5y^3 -18xy^2 +8x^2y +2x^3r| ; - ; 4raiz23arctan!l(5y-6xraiz23,xr) = ln|x| + C

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