Determine a função de
que torne a
uma equação exata. Em seguida, determine a solução da EDO.
Passo 1
A equação diferencial dada é
. Isso cai no conteúdo de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, e vamos primeiro testar se existe fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Para testar fator integrante
, calculamos
O teste para
Aqui
que depende de
Passo 3
Como não há
simples, notamos que
e
são homogêneos de grau 2. Isso sugere a substituição de Euler:
Passo 4
Substituindo na equação original e dividindo por
obtemos a ODE em
:
$$x\frac{dv}{dx} = -\frac{2 + 8v -18v^2 +5v^3}{4 -12v +5v^2}.
$$
Passo 5
Integramos ambos os lados. O lado de
dá
. O lado em
produz uma combinação de logaritmo e arctan por frações parciais. Voltando a
, escrevemos a solução geral de forma implícita:
Resposta
Não existe fator integrante dependente só de x. A solução geral da EDO, em forma implícita, é